七十二、一決雌雄!(上)
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說話間,被胡沛薇稱為“沈老師”的中年男子拿出三張紙分發給大家:“題量不大,就6道題,關鍵是要動點腦筋。因為咱們是練手,所以沒時間限製,做完為止。旁邊有A4紙,要用自己拿。沒什麽問題的話,那就開始吧?”
最初聽沈老師說參考前幾年的國際奧數題型,江水源心裏就“咯噔”了一聲,因為他翻過曆屆國際奧數真題,深知其中的詭譎玄奧。再聽說隻有6道題,他已經考慮是不是晚上就睡在這裏了。果然,他看到第一道題就有些懵:“平麵上給定100個點,無三點共線。求證:這些點構成的三角形中至多70%是銳角三角形。”
再看第二道題:“在凸四邊形ABCD中,AB?CD=BC?DA,點X在四邊形ABCD內部,且滿足∠XAB=∠XCD,∠XBC=∠XDA。證明:∠BXA+∠DXC=180°。”
第三題:“一個國際社團的成員來自6個國家,共有成員1978人,用1、2、3、4……1997、1998來編號。請證明:該社團至少有一個成員的順序號數,與他的兩個同胞的順序號數之和相等,或者是一個同胞的順序號數的2倍。”
第四題:“n為給定正整數,S={(x,y,z)|x,y,z ∈{0,1,2…,n},x+y+z>0}是三維空間中(n+1)^3-1個點的集合。視求其並集包含S但不含(0,0,0)的平麵個數的最小值。”
第五題……
第六題……
六道題分別涉及代數、幾何、數論和組合數學四大類,難度都在中等以上——注意,是國際奧賽的中等,不是普通高中月考的中等。要知道中學數學教育界有時會把數學分為三類:初等數學,高等數學,以及介於初等數學和高等數學之間、以各類奧數題為代表的競賽數學。競賽數學除了具體知識較初等數學有所擴充外,更重要是體現在思維、方法上。
直白一點說,就是腦袋瓜子要夠聰明、夠靈活!
把六道題掃完後,江水源直接和葛大爺說道:“葛老師,幫我們訂午飯吧!”
葛大爺有些幸災樂禍:“沒問題,要不要晚飯也幫你一起訂了?你這樣磨磨蹭蹭,估計我還得再幫你訂間房。”
江水源側過頭看看,發現胡沛薇已在奮筆疾書,張謹則皺著眉頭咬著筆杆在苦思冥想。他拿過一遝A4紙,也準備答題。
剛才看過一遍題目,心裏大致有數:6道題裏麵,有3道題思路相對清晰,比如第一題,看上去是幾何題,其實是道組合數學題,要把平麵上給定的點視為一個集合,把點構成的三角形再視為一個集合,構成的銳角三角形也視為一個集合,然後想辦法來證明結論。再比如第二題,肯定是要用四點共圓和托勒密定理的。剩下的3道題裏,有2道題隱隱約約有些想法,還有1道第四題則毫無頭緒。
這還是江水源獲得手鐲加持以來,第一次在考試中遇到毫無頭緒的題目。難道胡沛薇平時就拿這種題目練手?還是說,湖廣奧數已經強大到了這種地步?以前看武俠小說,總說行走江湖三種人不能惹,老人、小孩、女子,今天算是見識了。
江水源搖搖頭,把腦袋裏的多餘情緒全部清空,開始全身心投入到解題大業中。
題目很難,而且變化曲折,感覺就像個磨人的小妖精,渾身上下散發著讓人不由自主掉進坑裏的坑爹氣息,必須打起十二分精神來應付。
一陷進去,就忘記了時間流逝。
等到第三題剛開個頭,就聽葛大爺招呼道:“飯來了!先吃飯吧,磨刀不誤砍柴工。”
“沒錯。皇帝不差餓兵,吃飽了才有精力做題。”沈老師邊說邊擺開碗筷,順便還傳授考試秘訣:“不過考試時也不能吃得太飽,吃得太飽,血糖升高,人容易犯困,反而容易影響思考。所以吃個六分飽就最好,要是擔心考場上餓了,可以隨身準備幾塊巧克力,隨時隨地補充能量。”
葛大爺瞪著江水源、張謹:“學著點,這都是寶貴經驗!”
“嗯!”張謹重重地點點頭。
江水源則是習慣性吐槽:既然是寶貴經驗,為啥你之前不說?非得等別人提起,你才打蛇順杆子上,莫非這就是傳說中的“葛亮之所以為諸(豬)也”?
葛大爺見江水源不說話,反而主動湊到邊上,拿起江水源的答題紙看了起來:“你做出了幾道?”
江水源一邊吃飯一邊腦袋裏還在高速運轉,思考那道毫無頭緒的第四題,根本沒工夫和葛大爺鬥智鬥勇,直截了當地回答道:“兩道。”
“兩道?很不錯啊!”沈老師也湊了過來,“國際奧數是考兩天,每天四個半小時、三道題。剛才我們從十點多開始考,到現在還不到兩小時,小江就做出了兩道題,這水平、這速度,進國家集訓隊都問題不大!——對了,沛薇,你做出了幾道?”
“也是兩道。”胡沛薇不僅吃得專心,而且吃得優雅斯文,盒飯都能吃出米其林餐廳的範兒。
葛大爺馬上反駁:“不止吧?據我觀察,小胡至少做出了三道——就算沒有三道,第三道題也快出來了。嗬嗬,你就不要給他們留麵子了,反正他們也不在乎。”
不知是默認,還是秉承“食不言寢不語”的古訓,胡沛薇沒再說話,這讓葛大爺逮著了發揮的機會,抖羅著手裏的答題紙開始吐沫橫飛:“平時不是挺能的嗎?恨不得拳打萊布尼茨,腳踢拉格朗日,飛上天與歐拉、高斯肩並肩,怎麽關鍵時候掉鏈子了?”
張謹捧著飯盒滿臉羞愧:“我、我、我才做出了一道……”
江水源對葛大爺的冷嘲熱諷早已達到“八風吹不動,穩坐紫金蓮”的高超境界,此時聽到他的譏誚,腦袋裏卻好像劃過一道閃電,仿佛抓到解決第四題的某個關鍵,仔細尋思時卻又不見蹤跡。他皺著眉頭下意識反問道:“你剛才說誰?”
“說你怎麽了?”
“不是說我!”
葛大爺笑了:“不是你,還能有誰?總不可能我說小胡的吧?”
“不是,你說我拳打誰?腳踢誰?——哦,拉格朗日!”江水源瞬間找到了打開第四題的鑰匙:先構造一個多項式,然後用差分法和拉格朗日中值定理進行做差證明,然後分情況討論,得出結果。
回過頭來看這道題目,本質上是個代數問題,很容易就能發現最小值是3n,關鍵是如何證明。之前他曾想過用歸納法,然而實在太過複雜,能不能成功還在兩可之間。現在用差分法,不僅思路巧妙,而且步驟簡單,簡直是神之一手!
他立即扔下飯盒,拿過簽字筆A4紙開始著手證明,唯恐稍一耽擱,靈感就不翼而飛。
葛大爺看到江水源忽然文思泉湧、下筆如飛,有些心虛地向沈老師解釋道:“這個、這個,我就是隨口罵罵他,純屬無心之舉。這個應該不算作弊吧?”
沈老師也是無語:“應該不算吧?畢竟其他人也聽到了,沒見他們有什麽反應。”
葛大爺左右看了看,發現胡沛薇和張謹都是一頭霧水,顯然是沒鬧明白為什麽拉格朗日會對江水源有啟發。
沈老師接著說道:“而且這幾道題我都看過,沒覺得那道題需要用拉格朗日中值定理或者四平方和定理啊!”
“對、對、對,你這麽一說我也想起來了,是好像沒有用到拉格朗日定理的地方!這臭小子一驚一乍地幹什麽?”
他們的討論絲毫沒有影響江水源的答題。十五分鍾之後,江水源把筆一扔,端起快餐盒摸了摸,然後滿意地點點頭:“不錯,飯還是溫的!”(m.101novel.com)