翌日。

    清晨時分，旭日東升，一抹朝陽落在清華園。

    西院第8號房。

    書房內。

    窗戶染了一層白霜，一縷縷陽光透過窗戶照進無奈，屋內靜謐無聲，一個木製立式黑板搬進了書房。

    “要學微積分，首先你要搞懂微積分是什麽，不能知其然，不知其所以然。”華羅庚立於黑板旁邊，寫下了六個字。

    微積分是什麽。

    “我們先從最基礎的求麵積講起，在古希臘時期，阿基米德那個時代人，處於初步發展階段的幾何，數學家們遇到一個棘手且嚴峻的問題，那就是求麵積，三角形和正方形這些圖形有麵積公式，所以求解很簡單，但問題在於，那些不規則圖形的麵積該怎麽求？”

    “例如我現在畫的這條型曲線，這條曲線圍成的麵積需要求解，但沒有公式，這個時候，如何求解一條曲線圍成的麵積，就成為了當時數學家們研究的問題。”

    “阿基米德找到了辦法，餘華，你知道是什麽辦法嗎？”

    華羅庚目光看向餘華。

    “窮竭法，用熟悉的圖形去無限逼近曲線圍成圖形的麵積。”餘華回答道。

    “對，窮竭法，提出者安提芬，改進者歐多克斯，完善者阿基米德，窮竭法思想就是用無限個熟悉圖形去求一條曲線圍成圖形的麵積，在數學史上，窮竭法被視為微積分的前身，且嚴謹性無可挑剔。”

    華羅庚右手握著粉筆，畫出窮竭法的求解過程，用一個個三角形去填充型曲線所圍成的麵積，最終求出麵積大小。

    整個過程極為繁瑣，但無比嚴謹。

    華羅庚求解完成，隨即用板刷擦去公式和圖形，又重新寫下一個新的概念，通過矩形求麵積：

    “窮竭法沿用到了十七世紀，這一千多年曆史之中，有我國的割圓術求麵積，但計算過於複雜，並不適用，窮竭法自身局限性也逐漸明顯，對於不同曲線圍成的麵積需要使用不同的圖形去逼近，而不同圖形的證明技巧並不一樣，極為繁瑣，這個時期數學界出現‘用矩形來逼近原圖形’，思想與窮竭法一致，且更加簡單，但矩形求解存在一個問題，那就是失去了嚴謹性，這是一個非常嚴重的情況。”

    嚴謹是數學的靈魂。

    失去簡單性，數學失去很多愚笨者。

    失去嚴謹，數學將會失去一切。

    如果一個定理，一個公式，一個數學常數失去了嚴謹性，那意味著整個數學大廈的崩塌。

    餘華全神貫注聆聽，關於華羅庚講解的重點，盡數記入腦海之中，理解程度非常迅速。

    “牛頓和萊布尼茨對於矩形求解存在的問題非常重視，經過這兩位數學家的不懈研究，牛頓和萊布尼茨意外發現了一個關鍵性東西，也就是微積分最基本和最重要的核心思想，那就是微分與積分之間的互逆運算，用數學公式表達為微積分基本定理。”

    華羅庚麵容嚴肅，在黑板上寫下了微積分基本定理：“而在此前，微分和積分，還是兩個單獨學科，微分求導數，積分求麵積，互不相幹，在牛頓和萊布尼茨的作用下，微積分完整體係建立。”

    微分與積分之間的互逆運算。

    這是微積分的核心，至此，人類文明發展史上極為重要的微積分誕生，微積分基本定理又被稱為牛頓——萊布尼茨公式。

    真是天才……

    餘華聆聽了微積分誕生的曆史進程，心中微微感歎，將兩個單獨的學科聯係在一起，並且敏銳發現微分和積分之間的互逆運算，不愧是曆史上兩位最頂尖的大牛。

    互逆運算是什麽概念？

    簡單而言，那就是求麵積的問題，可以轉變為求導數，求導數的問題轉變為求麵積，互相變換。

    如果積分之路走不通，那就從低維度研究轉變為高維度研究，用微分解決問題。

    如果微分之路走不通，那就從高維度研究轉變為低維度研究，用積分解決問題。

    此外，還可逆向積分求麵積。

    若你要問它的意義在哪裏？

    意義非常重要，在於極大程度上縮減了繁瑣的計算過程，簡化計算難度，極大提升數學各分支的發展效率。

    微積分能求的東西實在是太多了，例如微分導數的極值。

    極值非常重要，大炮發射的炮彈飛行極限距離，一船貨物利潤數據，從某地出發到某地之間的那條路線距離最近等等。

    這是科學研究最重要的工具，亦是由人類親自創造的數學武器。

    “當然，這個時候的微積分體係還不算完美，無窮小量問題使得微積分的基礎並不穩固，無窮小量的問題在於通過動態方式來定義極限，一個量在逼近0的過程中，有無數個實數，這樣是行不通的，由此引發第二次數學危機，後來數學家柯西和魏爾斯特拉斯重新定義了極限，至此，微積分的基礎終於穩固，後來由法國數學家勒貝格研究的勒貝格積分，為微積分收官。”

    華羅庚緩緩講述關於微積分和無窮小量之間的關係，轉而在黑板上寫出一串公式，這是勒貝格積分：

    “我在英國劍橋大學留學期間，曾經有幸去了一趟法國，見到勒貝格先生，收益很大，不過，關於微積分在無窮小的領域，我認為還有很大研究價值，日後你可以嚐試一下這個領域，微積分既是數學研究的基礎，更是科學研究的工具，明白嗎？”

    “明白。”餘華聽聞，點了點頭，記下華羅庚送給他的一個數學研究方向。

    華羅庚點頭，正色道：“在知道微積分是什麽之後，我們學習起來就更加容易，接下來講函數、導數與極限，第一本書你看了多少？”

    “看完三分之一部分，函數和導數都懂。”餘華回應道，昨晚學習時間不長，他隻看了《導數與極限》的三分之一。

    “好，那就從極限開始講起。”

    華羅庚聽聞，眼中透出讚賞之色，頓了頓，細細講解：“微積分的極限定義為……”