費馬大定理是數學史上最著名的猜想之一，由法國數學家皮埃爾·德·費馬在17世紀提出。該定理斷言當整數n＞2時，關於x、y、z的方程xn+yn=zn沒有正整數解。這個看似簡單的問題困擾了數學界長達358年之久，直到1994年才由英國數學家安德魯·懷爾斯完成證明。懷爾斯的證明建立在現代數論多個分支的基礎上，特別是橢圓曲線和模形式的深刻理論。他證明了所有半穩定橢圓曲線都是模曲線這一特殊情形下的穀山誌村猜想，從而導出費馬大定理的成立。這個證明過程長達200頁，運用了包括伽羅瓦表示、赫克代數等深奧的數學工具，是20世紀數學最輝煌的成就之一。
    龐加萊猜想屬於拓撲學領域的核心問題，由法國數學家亨利·龐加萊在1904年提出。該猜想斷言：任何一個單連通的、封閉的三維流形都同胚於三維球麵。這個表述看似簡單，卻深刻反映了三維空間的本質特性。俄羅斯數學家格裏戈裏·佩雷爾曼在20022003年間發表了三篇論文，運用理查德·哈密頓提出的裏奇流方法，最終證明了這一猜想。佩雷爾曼的創新在於解決了裏奇流中的奇點問題，並引入了"手術"技術來處理流形在演化過程中可能出現的拓撲變化。這一證明不僅解決了龐加萊猜想，還完整證明了更一般的幾何化猜想，為理解三維空間的拓撲結構提供了全新的視角。
    四色定理是圖論中最著名的問題之一，最早由弗朗西斯·古德裏在1852年提出。該定理聲稱：任何劃分在平麵上的地圖，隻需要四種顏色就足以確保相鄰區域顏色不同。1976年，肯尼斯·阿佩爾和沃爾夫岡·哈肯首次給出了這個定理的證明。他們的證明方法具有開創性，將問題轉化為1936種特殊構型的可約性分析，並首次大規模使用計算機進行輔助證明。雖然這個證明在當時引發了關於計算機在數學證明中角色的爭議，但它確實開創了數學研究的新範式。後來在1996年，羅伯遜等人給出了更簡化的證明，將需要檢查的構型數量減少到633個，但計算機驗證仍然是證明過程中不可或缺的部分。
    哥德巴赫猜想是數論中最重要的未解決問題之一，由克裏斯蒂安·哥德巴赫在1742年寫給歐拉的信中提出。猜想分為強弱兩種形式：強形式認為每個大於2的偶數都可以表示為兩個素數之和；弱形式則認為每個大於5的奇數都可以表示為三個素數之和。2013年，哈拉爾德·赫夫戈特與大衛·普拉特合作，完全證明了弱哥德巴赫猜想。他們的證明建立在維諾格拉多夫關於大奇數表示法的經典工作基礎上，通過改進圓法和篩法理論，將可驗證的範圍擴展到所有大於1030的奇數，再結合計算機驗證較小奇數的情況，最終完成了證明。這個結果被譽為解析數論的重大突破。
    黎曼猜想是數學界最重要的未解決問題，由伯恩哈德·黎曼在1859年提出。該猜想涉及黎曼ζ函數的非平凡零點，斷言所有這些零點的實部都等於12。雖然完整的黎曼猜想仍未解決，但在特定情況下取得了重要進展。1989年，布萊恩·康瑞證明了至少40的非平凡零點位於臨界線上。2018年，邁克爾·格裏菲斯等人將這個比例提高到41.73。這些部分結果都是通過發展新的解析技巧和引入深刻的數論思想獲得的。黎曼猜想的解決將對素數分布理論產生革命性影響，因此被列為克雷數學研究所的七大"千禧年難題"之一，懸賞百萬美元征求解答。
    bsd猜想是算術幾何領域的核心問題，由伯奇和斯溫納頓戴雅在1960年代提出。該猜想建立了橢圓曲線的算術性質與其函數解析性質之間的深刻聯係。1986年，本尼迪克特·格羅斯和唐·紮吉爾對一類特殊的橢圓曲線證明了bsd猜想。他們的工作建立在模形式理論和海格納點理論的基礎上，通過構造特定的heegner點來生成橢圓曲線上的有理點群。2002年，維塔利·庫茲涅佐夫等人對秩為1的橢圓曲線給出了更完整的證明。這些突破性工作不僅驗證了bsd猜想在某些情況下的正確性，還極大地推動了現代數論的發展。
    納維斯托克斯方程是描述流體運動的基本偏微分方程，其解的存在性與光滑性是克雷數學研究所的千禧年難題之一。雖然完整解尚未找到，但在特定條件下取得了重要進展。2000年，皮埃爾路易·利翁證明了在二維情況下解的整體存在性和唯一性。2014年，陶哲軒對三維情況給出了部分正則性結果。這些證明都運用了現代非線性偏微分方程的深刻理論，特別是能量估計和緊性方法。該問題的完全解決將徹底改變我們對流體動力學的理解，並對工程應用產生重大影響。
    霍奇猜想是代數幾何中最重要的問題之一，由威廉·霍奇在1950年提出。該猜想涉及代數簇的上同調類與代數閉鏈之間的關係。雖然一般情況仍未解決，但在低維情形取得了進展。1983年，森重文證明了三維霍奇猜想對某些特殊類型的代數簇成立。2013年，克萊爾·瓦讚等人對具有特殊對稱性的四維代數簇給出了部分證明。這些結果都建立在現代代數幾何的深刻理論基礎上，特別是混合霍奇理論和 otives 理論的發展。霍奇猜想的完全解決將極大地統一代數幾何與拓撲學的研究方法。
    楊米爾斯存在性與質量間隙是量子場論中的基本數學問題，也是克雷數學研究所的千禧年難題。該問題要求嚴格證明楊米爾斯理論在四維時空中的量子化存在，且存在質量間隙。2002年，阿圖爾·賈菲和愛德華·威滕在特定對稱群下給出了部分證明。2013年，馬丁·海爾等人對su(2)規範群在特定情況下證明了質量間隙的存在。這些工作運用了構造性量子場論和隨機偏微分方程等現代數學物理方法。該問題的完全解決將奠定量子場論嚴格的數學基礎，對理論物理學產生深遠影響。
    p vs np問題是理論計算機科學的核心問題，也是克雷數學研究所的千禧年難題。該問題詢問是否所有可以在多項式時間內驗證解的問題，也都能在多項式時間內求解。雖然尚未完全解決，但在特定情況下取得了進展。2002年，維諾德·德奧拉裏卡爾證明了某些代數幾何方法無法分離p和np類。2018年，陳立傑等人對某些受限的計算模型證明了p≠np。這些結果都運用了電路複雜性理論和代數化方法等前沿工具。該問題的解決將對密碼學、算法設計等領域產生革命性影響。
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