第5章 容斥抽屜
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陽光斜斜地灑進教室,黑板上密密麻麻寫滿了計數問題例題。我盯著那些加乘符號和公式,心裏直犯嘀咕,趁著老師講解抽屜原理的間隙,舉起了手)
我:“老師,這些原理太繞了!加法和乘法還好理解,可容斥原理和抽屜原理根本用不上實際問題,不就是數學書上的文字遊戲嗎?”
老師停下粉筆,轉身推了推眼鏡):“同學,數學原理都來源於實際生活。比如抽屜原理,你想想,如果有3個蘋果放進2個抽屜……”
我打斷道):“我知道!至少有一個抽屜放2個蘋果。但這有什麽用?現實裏誰會沒事把蘋果塞抽屜啊?還有容斥原理,又是重複又是排斥的,直接把人數加起來不就好了?”
老師皺起眉頭):“上個月校運會報名,30人參加跑步,25人參加跳遠,10人兩項都報。按你的方法,總人數是55人?可實際上隻有45人啊。”
我漲紅了臉):“那隻是巧合!而且就算要用容斥原理,背公式就行了,何必講這麽多推導過程?”
後排同學開始竊竊私語,老師的臉色沉了下來:“數學不是背公式的學科。容斥原理的推導過程,是為了讓你們理解為什麽要減去重複部分,這才是數學思維的核心。”
我猛地站起來):“可考試隻看答案!我用笨方法慢慢算,隻要結果對就行,為什麽非要學這些花裏胡哨的原理?”
老師提高聲調):“等遇到複雜問題,比如三個集合的容斥,或者帶限製條件的抽屜問題,你的‘笨方法’要算到什麽時候?去年競賽題裏,有一道涉及多層嵌套的抽屜原理……”
我激動地拍桌子):“那是競賽題!我們普通學生根本用不上!老師你總是拿難題來證明方法的重要性,可日常練習和考試根本沒這麽難!”
教室裏一片寂靜,隻有吊扇轉動的嗡嗡聲。老師深吸一口氣,在黑板上畫了個大表格:“好,我們現場驗證。這道題:從1到100的自然數中,能被3或5整除的數有多少個?你用普通加法,我用容斥原理。”
我抓起筆在草稿紙上演算,先數出能被3整除的33個數,再數出能被5整除的20個數,正要相加時,突然想起老師說的“重複部分”,手指頓在紙上。這時老師已經寫下答案:“33 + 20 6 = 47,能同時被3和5整除即被15整除)的有6個數,這就是重複計數的部分。”
我梗著脖子):“這次是你運氣好!抽屜原理肯定沒用!”
老師冷笑一聲):“那我們換個場景。現在有5種顏色的襪子各10隻混在一起,黑暗中至少摸出幾隻才能保證有兩雙顏色相同的襪子?”
我脫口而出):“10隻!每種顏色各摸2隻。”
老師在黑板上快速畫圖:“如果前5次摸到5種不同顏色,第6次隨便摸一隻就能配成一雙。但要保證兩雙,假設第7次又摸到和第6次同色,這時還是隻有一雙,所以至少需要……”
我打斷):“至少9隻!但這是特殊設計的題目,現實中誰會這樣摸襪子?”
老師氣得臉色發白):“抽屜原理的本質是‘最不利原則’,在數據加密、資源分配領域都有應用!你總以‘沒用’否定知識,是對數學的傲慢!”
我眼眶發紅):“我隻是覺得學了用不上!每天背這些原理,考試一緊張還是會忘,還不如多做幾道基礎題!”
下課鈴突然響起,老師沉默著收拾教案。我呆坐在座位上,看著草稿紙上淩亂的數字,想起上次月考因為沒考慮重複計數丟了8分,心裏泛起一絲懊悔。但想到老師剛才嚴厲的語氣,又倔強地別過頭。
同桌遞來張紙條:“其實我覺得老師說得對,上次編程課用到抽屜原理分配內存……”我捏皺紙條,望向窗外,夕陽把梧桐樹的影子拉得很長,就像我此刻紛亂又迷茫的思緒。
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